что обозначает на плоскости n+2y-4=0

2.2 Общие свойства линейных программ

Установленные для двухмерного случая свойства решений полезны и при рассмотрении произвольной линейной программы.

Обратите внимание на тот факт, что множество планов может оказаться неограниченным. В этом случае может обнаружиться факт неограниченности значений целевой функции по максимуму и (или) минимуму.

рис.2в вершинах этого многоугольника (если градиент перпендикулярен некоторой грани, то во всех точках отрезка, соединяющего соответствующие вершины).

Приведенный пример показывает, что для двухмерной линейной программы в случае непротиворечивых ограничений множество планов является выпуклым многоугольником (в частности, отрезком, лучом или даже точкой) и экстремумы целевой функции (линейной формы) достигаются

(Использование градиента избавляет нас от необходимости отыскивать координаты всех вершин множества планов и вычисления значений функции во всех этих вершинах с последующим выбором минимального значения).

Нетрудно видеть, что минимум достигается в точке E с координатами (500,0), а максимум - в точке С, координаты которой получаются решением системы уравнений :

Для нашей задачи множество планов представляет многоугольник A B C D E и градиент определяется вектором с компонентами (2,5) .

Если вспомнить понятие градиента функции в точке как вектора, составленного из частных производных функции, вычисленных в этой точке, и учесть, что градиент указывает направление наибольшего возрастания функции в окрестности точки, то в случае линейной функции можно утверждать постоянство градиента в любой точке плоскости. Тогда очевидно, что экстремумы линейной функции достигаются в вершинах множества планов (или на какой-то грани множества, если градиент перпендикулярен этой грани).

Очевидно, что условие X + Y ё g задает полуплоскость, ограниченную прямой X + Y = g . Тогда система любых подобных ограничений определит множество допустимых решений (планов) в виде некоторого выпуклого многоугольника.

Так как целевая функция и ограничения линейны, мы имеем дело с задачей линейного программирования. Учитывая двухмерность этой задачи, попытаемся решить ее графически.

(2) 0.2 X + 0.4 Y  100

(1) 0.4 X + 0.2 Y  100

Если обозначить искомые объемы через X и Y , то задача сведется к минимизации производственных затрат

Пусть шахта добывает уголь двух марок A и B, который используется для изготовления концентратов типа C1, C2 и C3. Себестоимость добычи тонны угля этих марок равна соответственно 2 и 5 денежным еди-ницам. Объемы производства концентратов должны быть не менее 10 , 100 и 20 тонн. На производство тонны концентрата С1 требуется 0.4 тонны угля марки А и 0.2 тонны угля марки В, для С2 - 0.2 и 0.4, для С3 - 0.2 и 0.02 соответственно. Суммарный объем добычи угля не превыша-ет 750 тонн. Попытаемся найти объемы добычи угля по маркам, которые потребовали бы минимальных затрат.

Рассмотрим чуть-чуть более сложную задачу.

Если обратиться к поиску максимума (минимума) линейной функции одной переменной F(X) в интервале [A,B] , то очевидно, что достаточно найти F(A) и F(B) и выбрать из них большее (меньшее).

2.1.Линейная программа: случай двух переменных

2. ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Экономико-математические методы